Как быстро выучить таблицу степеней

Цитата сообщения galkapogonina Видео урок: как в уме возводить числа в степепь

Давно я ничего не выкладывал. Но вот нашел урок, правда на английском как можно легко и просто в уме возводить числа в степень Удивляя при этом своих друзей и зарабатывая миллионы в спорах ))
Видео урок: как в уме возводить числа в степепь
Давно я ничего не выкладывал. Но вот нашел урок, правда на английском как можно легко и просто в уме возводить числа в степень Удивляя при этом своих друзей и зарабатывая миллионы в спорах ))


Описание слайда

Остальные слайды урока на skillopedia.ru

число 104. нас интересуют цифры после единицы. в данном случае 04. прибавляем это число к исходному «104» — 04+104=108. это первая часть конечного числа. для получения второй части надо 04 возвести в квадрат — получается 16. дописываем к первой части 10816

число 107. 07+107=114. это первая часть. получим вторую, возведя 7 в квадрат — получается 49. конечный результат 11449

число 112. 12+112=124. это первая часть. получим вторую, возведя 12 в квадрат — получается 144. но вторая часть должна состоять только из двух цифр, поэтому первая единица числа 144 «залазит» на последнюю четверку первой части(124). поэтому происходит сложение 4+1. и ответ в итоге 12544.

число 96. этому числу до 100 не хватает 4 единицы(100-96=4). отнимаем их от начального числа — 96-4=92. это первая часть. возводим 4 в квадрат — получается 16. это вторая часть. всё вместе 9216

Источник: www.liveinternet.ru

  • Школьникам
  • Алгебра 140

  • Английский язык 481
  • Астрономия 2
  • Биология 426
  • Всеобщая история 285
  • География 230
  • Геометрия 172
  • ИЗО 24
  • Информатика 66
  • История России 338
  • Еще 17 категорий

Источник: www.kursoteka.ru

Как быстро выучить таблицу степеней
Старинная запись на квитанции в уплате подати («ясака»). Она означает сумму 1232 руб. 24 коп. Иллюстрация из книги: Яков Перельман «Занимательная арифметика»


Ещё Ричард Фейнман в книге «Вы конечно шутите, мистер Фейнман!» поведал несколько приёмов устного счёта. Хотя это очень простые трюки, они не всегда входят в школьную программу.

Например, чтобы быстро возвести в квадрат число X около 50 (502 = 2500), нужно вычитать/прибавлять по сотне на каждую единицы разницы между 50 и X, а потом добавить разницу в квадрате. Описание звучит гораздо сложнее, чем реальное вычисление.

522 = 2500 + 200 + 4
472 = 2500 – 300 + 9
582 = 2500 + 800 + 64

Молодого Фейнмана научил этому трюку коллега-физик Ханс Бете, тоже работавший в то время в Лос-Аламосе над Манхэттенским проектом.

Ханс показал ещё несколько приёмов, которые использовал для быстрых вычислений. Например, для вычисления кубических корней и возведения в степень удобно помнить таблицу логарифмов. Это знание очень упрощает сложные арифметические операции. Например, вычислить в уме примерное значение кубического корня из 2,5. Фактически, при таких вычислениях в голове у вас работает своеобразная логарифмическая линейка, в которой сложение и деление чисел заменяется сложением и вычитанием их логарифмов. Удобнейшая вещь.

Как быстро выучить таблицу степеней
Логарифмическая линейка

До появления компьютеров и калькуляторов логарифмическую линейку использовали повсеместно. Это своеобразный аналоговый «компьютер», позволяющий выполнить несколько математических операций, в том числе умножение и деление чисел, возведение в квадрат и куб, вычисление квадратных и кубических корней, вычисление логарифмов, потенцирование, вычисление тригонометрических и гиперболических функций и некоторые другие операции.


ли разбить вычисление на три действия, то с помощью логарифмической линейки можно возводить числа в любую действительную степень и извлекать корень любой действительной степени. Точность расчётов — около 3 значащих цифр.

Чтобы быстро проводить в уме сложные расчёты даже без логарифмической линейки, неплохо запомнить квадраты всех чисел, хотя бы до 25, просто потому что они часто используются в расчётах. И таблицу степеней — самых распространённых. Проще запомнить, чем вычислять каждый раз заново, что 54 = 625, 35 = 243, 220 = 1 048 576, а √3 ≈ 1,732.

Ричард Фейнман совершенствовал свои навыки и постепенно замечал всё новые интересные закономерности и связи между числами. Он приводит такой пример: «Если кто-то начинал делить 1 на 1,73, можно было незамедлительно
ответить, что это будет 0,577, потому что 1,73 — это число, близкое к квадратному корню из трёх. Таким образом, 1/1,73 — это около одной трети квадратного корня из 3».

Настолько продвинутый устный счёт мог бы удивить коллег в те времена, когда не было компьютеров и калькуляторов. В те времена абсолютно все учёные умели хорошо считать в уме, поэтому для достижения мастерства требовалось достаточно глубоко погрузиться в мир цифр.


В наше время люди достают калькулятор, чтобы просто поделить 76 на 3. Удивить окружающих стало гораздо проще. Во времена Фейнмана вместо калькулятора были деревянные счёты, на которых тоже можно было производить сложные операции, в том числе брать кубические корни. Великий физик уже тогда заметил, что использование таких инструментов, людям вообще не нужно запоминать множество арифметический комбинаций, а достаточно просто научиться правильно катать шарики. То есть люди с «расширителями» мозга не знают чисел. Они хуже справляются с задачами в «автономном» режиме.

Вот пять очень простых советов устного счёта, которые рекомендует Яков Перельман в методичке «Быстрый счёт» 1941 года издательства.

1. Если одно из умножаемых чисел разлагается на множители, удобно бывает последовательно умножать на них.

225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3
147 × 8 = 147 × 2 × 2 × 2, то есть трижды удвоить результат

2. При умножении на 4 достаточно дважды удвоить результат. Аналогично, при делении на 4 и 8, число делится пополам дважды или трижды.

3. При умножении на 5 или 25 число можно разделить на 2 или 4, а затем приписать к результату один или два нуля.

74 × 5 = 37 × 10
72 × 25 = 18 × 100

Здесь лучше сразу оценивать, как проще. Например, 31 × 25 удобнее умножать как 25 × 31 стандартным способом, то есть как 750+25, а не как 31 × 25, то есть 7,75 × 100.


При умножении на число, близкое к круглому (98, 103), удобно сразу умножить на круглое число (100), а затем вычесть/прибавить произведение разницы.

37 × 98 = 3700 – 74
37 × 104 = 3700 + 148

4. Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (9), и приписывают 25.

8 × 9 = 72, приписываем 25, так что 852 = 7225

Почему действует это правило, видно из формулы:

(10Х + 5)2 = 100Х2 + 100Х + 25 = 100Х (X+1) + 25

Приём применяется и к десятичным дробям, которые оканчиваются на 5:

8,52 = 72,25
14,52 = 210,25
0,352 = 0,1225

5. При возведении в квадрат не забываем об удобной формуле

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
442 = 1600 + 16 + 320

Конечно же, все способы можно сочетать между собой, создавая более удобные и эффективные приёмы для конкретных ситуаций.

Источник: se7en.ws

http://babyben.ru/images/babyben/2017/06/tablica-umnozheniya-plakat.jpg

Родители школьников часто задаются вопросом: Как быстро и легко выучить таблицу умножения? Люди изучают таблицу по разным причинам, но чаще всего просто потому, что требуется для школы. А зачем это требуется?


Таблицу умножения используют:

• Чтобы проводить вычисления с многозначными числами в уме или на бумаге без калькулятора. Пример: чтобы умножить 42*78, надо использовать четыре «факта» из таблицы умножения, плюс знание десятичной системы

• Чтобы видеть глубокие связи в математике и развивать свою «математическую интуицию»

К обеим целям (но на гораздо более высоком их уровне, чем позволяет традиционное вызубривание таблицы) можно прийти приятными, математически интересными и педагогически обоснованными «дорогами». Скорость этого путешествия лучше, конечно, выбирать индивидуально. «Четыре дня» из содержания — это примерная оценка, рассчитанная по следующим условиям:

• Ученик понимает количественные отношения в пределах первых двух сотен, умеет складывать и вычитать, и понимает, что такое умножение (например, видит 3*4 как три группы по четыре предмета), но не помнит таблицу наизусть

• Дети играют с ментором индивидуально или в маленьких группах

• Все ученики заинтересованы в изучении этой темы

Если дети еще не знают, что такое умножение, или только учатся оперировать большими числами, наши материалы можно использовать, но подход и скорость лучше модифицировать.

Из сотен существующих трюков и методов, связанных с таблицей умножения, мы выбирали по двум критериям. 1 — трюк короткий, не больше двух шагов (из-за этого, например, отсеялась система Трахенберга); и 2 — для трюка существует математически доступное объяснение-доказательство. То, что осталось в результате, легко запомнить, легко понять, и легко использовать!


Задачки рассчитаны на обсуждение с ментором или с другими учениками и с ментором, скорее чем на самостоятельное решение. Они могут привести к довольно продвинутой математике, которую ученик сам может или не заметить, или не суметь оформить в словах.

День 1

Начинаем учить таблицу умножения. Бесплатные клетки …и остается 36 примеров!

Вот обычная таблица умножения для целых чисел от нуля до десяти:

3603_1

Для выучивания наизусть выглядит страшновато. Сто отдельных фактов! Зубрить их так долго и скучно… А на самом деле, сколько фактов надо запомнить, чтобы знать всю эту таблицу? Не сто, это точно.

Внимательно и долго, пока не надоест, изучайте таблицу, и вы найдете множество интересных идей для трюков и методов быстрого запоминания.


Задача 0. Изучив таблицу, найдите как можно больше способов научиться использовать факты из нее без зубрежки. Многие математики, и не только они, работали над нахождением таких методов, так что на самом деле зубрить придется гораздо меньше, чем сто фактов. А сколько, по вашим оценкам? Запомните свой ответ…

Начинаем внимательно смотреть, и видим, что таблица симметричная. Ведь 4*8=8*4, a 9*6=6*9, и так далее. Чтобы все не перечислять, запишем это наблюдение словами:

Если одно число умножить на второе, то ответ такой же, как если второе число умножить на первое.

То есть часть таблицы нам дается совершенно бесплатно! А какая часть? Если сказали «половина», почти угадали. На самом деле симметрия нам дает 45 бесплатных «фактов».

Задача 1. Почему именно 45? Найдите 3 разных способа подсчета. Сколько «бесплатных» фактов даст симметрия таблицы умножения до 20*20? До 30*30?

Есть еще два числа, на которые умножать очень легко. Это 1 и 10.

Задача 2. Почему умножать на 1 легко, понятно, правда? А почему так просто умножать на 10? Подказка — подумайте о других системах счисления, например, шестнадцатиричной.

Вычеркнем и умножение на эти числа из списка тех, что надо вызубрить. На таблице эти «бесплатные» факты теперь показаны очень светлым серым. И вот что останется:


3603_2

В конце первого дня одним из методов из Задачи 1 подсчитываем, сколько нам осталось выучить фактов. Ну что, уже не так страшно? Тогда ждем следующего дня умножения!

День 2

Дважды два — четыре …и остается 21 факт!

Удваивать легко. Ученые даже считают, что удваивание «запрограммированно» в мозгу человека (и некоторых животных), наравне с различением понятий «большой — маленький» или «один-много». Малыши учаться удваивать, деля конфеты на двоих, считая туфельки и перчатки, рассматривая предметы в зеркале… Чтобы умножить на два — сложите число с самим собой! А чтобы умножить на четыре? Умножить на четыре — это все равно что умножить на два два раза. То есть для уножения на четыре, удваиваем число (это легко), а потом удваиваем результат.

Задача 3. Как использовать этот же принцип для умножения на 8, на 16 и т.д.? Числа в этом «и т. д.» называются «степени двойки». Первая степень — 2, вторая — 4, третья — 8… Продолжайте этот ряд, пока не надоест. А какая степень двойки — число 64? Ответ на этот вопрос называется, на математическом языке, «нахождением логорифма числа 64 по основанию 2″.

Так что для умножения на два и четыре зубрить ничего не надо. Как и для умножения на восемь, но это уже знаимает три шага (потому что восемь — третья степень двойки, смотри Задачу 3), так что умножение на 8 мы прибережем для другого трюка. А пока, давайте закрасим факты, от зубрежки которых нас спасает удвоение и умножение на 4 с помощью удвоения, светло-голубым:

3603_3

Смотрите, как мало осталось темных клеточек в таблице — зато впереди много интересной математики. До встречи в третий день.

День 3

Универсальный способ и умножение на 5 …и остается 10 клеточек!

Результаты умножения на пять можно научиться быстро добывать без зубрежки, причем несколькими разными способами. То есть можно выбрать для использования самый симпатичный вам способ.

Делить пополам (поровну) почти так же легко, как удваивать. Вывод: чтобы умножить на пять, умножайте на десять и потом делите на два. Например, пять умножить на восемь равно половине от восьмидесяти.

Пять умножить на четыре равно половине от сорока.

Задача 4. А почему, собственно, мы «имеем право» так делать? С математической точки зрения…

Еще один способ умножения числа на пять: если число четное, приписываем ноль к половине числа. Если число нечетное, приписываем пять к половине предыдущего числа. Например, чтобы умножить восемь на пять, приписываем ноль к половине от восьми. Чтобы умножить семь на пять, приписываем пять к половине от шести.

Задача 5. Почему этот способ работает? Чем он отличается от первого способа? (Подсказка: ничем! С математической точки зрения…)

А вот обещанный универсальный способ умножения. Он работает для всех без исключения чисел, но для большинства из них слишком медленно. Просто считаем не по одному «Один, два, три…» а по числу, которое умножаем, столько раз, на сколько умножаем. Попробуйте это сделать для 7*8: «Семь, четырнадцать, двадцать один, двадцать восемь, тридцать пять, сорок два, сорок девять, пятьдесят шесть»

Трудно, правда ведь? И медленно… А теперь попробуйте 5*8: «Пять, десять, пятнадцать… …сорок». Просто и быстро!

Задача 6, психологическая. Как вы думаете, почему людям легко считать пятерками?

Кстати, тройками тоже считать нетрудно: три, шесть, девять… (почему, как вы думаете?). В конце третьего дня перекрасим свето-фиолетовым клеточки, которые теперь можно не зубрить: все умножение на пять и умножение на три. Вот что останется:

3603_4

Осталось немного клеточек, но зато — самые трудные, говорите вы? В следующий день вы с ними одним махом расправимся!

День 4

Трюки на пальцах …И все клеточки закрашены!

Этот очень красивый трюк пришел откуда-то с Востока, как и многие другие замечательные математические идеи (например, идея нуля). Предполагается, что умножать числа от двух до пяти вы уже умеете (чтобы научиться, можно воспользоваться идеями первых трех дней). На пальцах будем перемножать числа от шести до девяти.

Пронумеруйте пальцы обеих рук: большие — 5, указательные — 6, средние — 7, безымянные — 8, мизинцы — 9. Для начала можно написать цифры на ногтях фломастером. Положите руки перед собой на стол ладонью вниз — и «аналоговый компьютер» готов! Скажем, умножаем 7*8: сведите палец номер 7 на левой руке и палец номер 8 на правой, положите эти касающиеся пальцы вдоль края. Свисающие пальцы (2 на левой руке и 3 на правой) считаем десятками — 50.

Пальцы на столе перемножаем: 3 с левой руки умножить на 2 с правой — получается 6, вот и ответ: 7*8=56. Еще пример: 9*8. Касаемся пальцами номер 9 на левой и номер 8 на правой руках. Перед касающимися пальцами осталось 7 пальцев (4 на левой, 3 на правой) — это 70. Остальные перемножаем: 1 на левой на 2 на правой — получается 2, и ответ — 72. То есть пальцы перед касающимися двумя всегда считаем десятками, а остальные перемножаем левую руку на правую. После третьего-четвертого умножения получается очень быстро и ловко.

Задача 7. Почему этот трюк работает? Мы знаем три разных доказательства — а может, вам удастся найти не только их, но и другие доказательства?

Давайте теперь перекрасим клеточки с результатами, которые мы можем добыть из последнего трюка, в светлый оранжевый цвет. Вот это да! Зубрить-то ничего и не осталось — вся тая закрашена! Это значит что мы наконец то выучили таблицу умножения.

3603_5

Источник

И небольшой трюк:

Источник: domohozajki.ru


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.